Welcome to this course on Microwave Antenna Design and Principles; now the first thing that we will see is microwave radiation fundamentals. So, you know that if we have a time-varying current, time-varying electric current, then Maxwell’s law predicted that there would be radiation. So, any structure that supports time-varying electric current that will radiate, but that is not an antenna because that radiation may not be efficient; what do you mean by efficiency of radiation? That means, whatever power we are giving the whole thing should be, or a sizable amount of that should be radiated to the free space; that means, that there should be proper impedance matching; we know the free space impedance is 377 ohm.
அனைவருக்கும் வணக்கம். மைக்ரோவேவ் (microwave - நுண்ணலை) ஆன்டனா (antenna) டிசைன் மற்றும் கொள்கைகள் என்னும் பாடத்திற்கு உங்களை வரவேற்கிறேன்; இப்போது நாம் முதலில் மைக்ரோவேவ் கதிர்வீச்சின் அடிப்படையை காணலாம். மேக்ஸ்வெல் கருத்தின்படி நம்மிடம் நேரம் மாறுபடும் மின்சாரம் (time varying electric current) இருந்தால் கதிர்வீச்சும் இருக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். அதனால் எந்த அமைப்பு நேரம் மாறுபடும் மின்சாரத்திற்கு ஆதரவாக இருக்கிறதோ அது கதிர்வீச்சை வெளிப்படுத்தும், ஆனால் அது ஆண்டனா இல்லை, ஏனென்றால் அதன் கதிர்வீச்சு, செயல்திறன் மிக்கதாக இருக்காது. கதிர்வீச்சின் செயல்திறன் என்றால் என்ன? கதிர்வீச்சின் செயல்திறன் என்றால் நாம் அனுப்பும் கதிர்வீச்சின் சக்தியானது முழுமையாகவோ பகுதியாகவோ வெற்றிடத்திற்கு அனுப்பும் ஆற்றல்; அதாவது அங்கு முறையான மின்மறுப்பு இணைப்பு (impedance matching) இருக்க வேண்டும், வெற்றிடத்தின் மின்மறுப்பு (impedance) 377 ஓம் என்பது நமக்குத் தெரியும்.
So, if the impedance looking at the antenna port is not compatible with this 377 ohm, then the radiation of the power will not be radiated much there will be the reflection of power. So, that is why one task of an antenna is to efficiently couple the power to the free space, another job of an antenna is to direct the radiation in the proper direction because we do not want to radiate everywhere we want to radiate where we want. The power is going to be received by someone else.
அதனால் ஆண்டனா போர்ட்டின் மின் மறுப்பு 377 ஓம் வாக இல்லையென்றால் கதிர்வீச்சு சக்தி, சக்தியின் பிரதிபலிப்பு காரணமாக அதிகமாக இருக்காது. அதனால்தான் ஆண்டனாவின் முதல் பணி கதிர்வீச்சின் சக்தியை வெற்றிடத்துடன் திறம்பட இணைக்க வேண்டும். இரண்டாவது பணி ஆண்டனாவின் கதிர்வீச்சு முறையான திசையில் இருக்க வேண்டும்; அனைத்து திசைகளிலும் கதிர்வீச்சு இருக்கக்கூடாது. அப்படி இருந்தால் வேறொருவர் அந்த சக்தியை பெற்றுக்கொள்வார்.
So, these two properties the directive nature of radiation and impedance coupling this is antenna brings. So, we can design the structures, so that efficiently do this and then we call that is the antenna. Now the problem of antenna engineering is two-fold; first we know that what type of current density on the structure will produce what fields? We know that if there is a time-varying current then both electric and magnetic fields they coexist, you cannot separate them.
ஆகையால் இரண்டு பண்புகளான கதிர்வீச்சின் திசை மற்றும் மின் மறுப்பு இணைப்பு ஆகியவற்றை ஆண்டனா கொடுக்கிறது. அதனால் நாம் ஒரு அமைப்பை உருவாக்கி அதற்கு மேற்கூறிய பண்புகளை கொண்டு வந்தால் அதுதான் ஆண்டனா எனப்படுகிறது. ஆண்டனா இன்ஜினியரிங்கின் இரண்டு அம்சங்கள்; முதலாவது எந்த அமைப்பு மின்சார டென்சிட்டி (density) உருவாக்கும் என்பதை தெரிந்துகொள்ள வேண்டும். நேரம் மாறுபடும் மின்சாரம் இருந்தால் மின்சார மற்றும் காந்தபுலம் சேர்ந்திருக்கும்; அவ்விரண்டையும் பிரிக்க முடியாது.
So, these fields are everywhere in space we want to find what is the E and H field, this is called the problem of antenna analysis. That means, given if we know the field if we know the current on the structure we should be able to predict what is the electric and magnetic field everywhere in this universe. But there is another problem that suppose I want that this should be the type of field, I want that at this direction there should be. So, much radiation compared to that in some other direction there should not be any radiation compared to that in some other direction there will be some suppose 30 percent of radiation of the maximum.
அதனால் மின்சாரம் மற்றும் மின்காந்தப் புலம் அனைத்து இடங்களிலும் இருக்கும். நாம் அவற்றை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் இதுதான் ஆண்டனாவின் சிக்கல் கலந்தாய்வு (problem analysis). இப்போது நமக்கு புலம் மற்றும் அமைப்பில் இருக்கும் மின்சாரம் தெரிந்து மின்சாரம் மற்றும் காந்தப்புலம் ஆகியவற்றை கணிக்க வேண்டும். ஆனால் இன்னொரு பிரச்சனை உள்ளது. அதாவது எந்த திசையில், எந்த விதமான புலம் இருந்தால் போதும் என்பதை வடிவமைக்க வேண்டும் என்றால் மற்ற திசையை காட்டிலும், அந்த திசையில் மட்டும் கதிர்வீச்சு இருக்க வேண்டும்; அதாவது அதிக பட்சத்தில் 30% கதிர் வீச்சு இருக்க வேண்டும்.
So; that means if I specify that radiation I want this type of directive nature, then how do we design the antenna? That is called antenna synthesis problem. Now mainly in this course, we will first do the analysis there after we touch briefly the synthesis problem. So, we first start whether Maxwell’s equation, because Maxwell’s equation you know that summarizes basically the behavior of electromagnetic fields when sources of excitation are present those are time-varying sources.
ஆகையால், எந்த திசையில் கதிர்வீச்சு வேண்டுமென்று குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், ஆண்டனாவை எப்படி வடிவமைப்பது? இதுதான் ஆன்டனா தொகுப்பு சிக்கல் (synthesis problem). முதலில் மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாட்டில் இருந்து தொடங்கலாம்; ஏனென்றால் மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடு நேரம்மாற்ற ஆதாரங்கள் (sources) மூலம் ஏற்படும் மின்காந்த அலைகளின் செயல்பாடுகளை சுருக்கமாக எடுத்துரைக்கிறது.
So, and also we have Fourier analysis. So, we know that any electrical signal can be broken into various a superposition of sinusoid. So, if we give a sinusoidal time variation; time-varying current to a structure then let us first write Maxwell’s equation.
ஃபுரியர் கலந்தாய்வில் இருந்து மின் சிக்னலை சினுசாய்டு மேல் பொருந்துதல் (superposition of sinusoid) மூலம் பிரிக்கலாம். ஆகையால் நேரம் மாற்று மின்சாரம் ஒரு அமைப்பில் இருந்தால், நாம் முதலில் மேக்ஸ்வெல் சமன்பாட்டை எழுத வேண்டும்.
4 மேக்ஸ்வெல் சமன்பாடுகள் மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன.
We know that Maxwell’s equation are the curl of the electric field phasor, that I can write as this omega is the excitation that is coming in the sinusoidal excitation frequency, then we know that curl of the magnetic field this is phasor. So, then we also know that the divergence of the displacement vector that is given by the volume charge density and we know that divergence of the B vector that is 0.
So, these are the four Maxwell’s equation, but you know that this here we assume that we know the sources, sources here is the current density vector J and the charge density ρ. So, if we know this we want to find what is E and H everywhere, but here you see there are various quantities we have the electric field E, we have the magnetic field H, but we also have two more unknown quantities one is D, another we have B.
நமக்கு ஆதாரங்கள் தெரியும் என்று அனுமானித்து உள்ளோம். இங்கு கரண்ட் டென்சிட்டி வெக்டார் J (current density vector J) மற்றும் சார்ஜ் டென்சிட்டி ( charge density p ) ஆதாரங்களாக கருதப்படுகின்றன. இவ்விரண்டும் தெரிந்தால் மின் புலம் E மற்றும் காந்தப்புலம் H கண்டு பிடிக்க முடியும். மேலும் 2 தெரியாத அளவுகளான D மற்றும் B உள்ளன.
So, this is the electric flux density; this is a magnetic flux density. So, there are four equations, but we are interested in E and H. So, can we eliminate D and B? Yes, we can because we have constitutive relations.
எனவே இவைதான் எலக்ட்ரிக் பிளக்ஸ் டென்சிட்டி D (Electric flux density D) மற்றும் மேக்னெட்டிக் பிளக்ஸ் டென்சிட்டி B (Magnetic flux density B) என்று கூறப்படுகின்றன. 4 மேக்ஸ்வெல் சமன்பாடுகளில் நாம் E மற்றும் H மட்டும் பார்ப்போம்.
So, with the constitutive relation, we know that D is related to for simple materials D is related to the electric field, and B the magnetic flux density vector is related to the magnetic field by the constitutive relation.
அமைப்புரீதியான உறவினால் D என்பது மின்புலத்துடன் சம்பந்தப்பட்டுள்ளது மற்றும் B என்பது காந்தப்புலத்துடன் சம்பந்தப்பட்டுள்ளது.
So, now we want to go back and eliminate D and B, so but here you see there is a problem that even if we eliminate B from here by using that constitutive relation. So, there will be H coming here, so the curl of E is specified in terms of basically the magnetic field H similarly, the curl of H is specified in terms of this D, I can replace by E with the constitutive relations. So, the curl of H is in terms of the electric field, so they are coupled together.
அமைப்பு ரீதியான உறவினால் D மற்றும் Bயை நீக்கினாலும் E யின் கர்ல் H இன் அடிப்படையிலும், H இன் கர்ல் E யின் அடிப்படையிலும் வருகிறது. ஆகையால் இரண்டும் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன.
Unless and until I cannot solve them because I want that the left side should be unknowns, the right side should be known that is not here present because both E and H they are unknown to me, but they are present both in the left-hand side and right-hand side. So; obviously, there are J and ρ also I will make use of them, but I need to now do something.
இந்த சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு இடதுபுறம் தெரியாதவற்றையும் வலதுபுறம் தெரிந்தவற்றையும் மாற்ற வேண்டும். E மற்றும் H இரண்டும் தெரியாதது, இரண்டு பக்கமும் இருக்கின்றன. ஆகையால் J மற்றும் p பயன்படுத்த வேண்டும்.
So, that we do by actually you know that if we take the curl of the first equation, then we get so that will be Del and here we can put the constitutive relation, then Del cross H was there in the second Maxwell’s equation. So, I can put that minus j omega mu then in place of that I will put j omega D plus J, and then again by putting the constitutive relation; I can write these has omega square, mu D minus j omega mu not J, again I am using constitutive relation. And now this omega square into mu into epsilon this is a constant quantity for a given source of excitation and given medium.
கடைசி சமன்பாட்டில் வரும் ko என்பது ஒரு கான்ஸ்டன்ட் (constant). ∇X∇XE - k²₀ E இன் மதிப்பு - j ωμo J. (Del cross Del cross E is equal to minus k, square E is minus j omega μo J.) எனவே, இதுதான் சரியான தீர்வு, ஏனென்றால் இடதுபுறம் தெரியாத அளவுகளும் வலதுபுறம் தெரிந்த அளவுகளும் உள்ளன. கோட்பாடுகளின்படி தீர்வு எட்டப்படும்.
So, that we generally denote by a constant called k not, so k not is wave number; ‘not’ is for free space I am writing. So, now you will see that this equation here simply if I take this k not square E here. So, I can write Del cross Del cross E minus k not square E is minus is j omega mu, not J. So, this is amenable for the solution because you see left- hand side is unknown E and the right-hand side is the unknown source quantity the current density that the structure is supporting others are all constant I know; so, I can theoretically solve this.
So antenna analysis is from this and once I know E, I can put that into Maxwell’s equation and find H. So, that would have made the whole antenna engineering can be solved by this, but actually, if I want to go and solve me because this is a vector relation. So, if I want to do it will be problematic because the J and E they are not so well related mathematically; I will find some problems in many of the cases.
இதுதான் ஆண்டனா கலந்தாய்வு. E தெரிந்தவுடன் மேக்ஸ்வெல் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தி Hஐ கண்டுபிடிக்கலாம். இதன் மூலம் ஆண்டனா இன்ஜினியரிங்கிற்கு தீர்வு காணலாம். இந்த தீர்வு பல இடங்களில் சிக்கலைத் தரும்.
So, in antenna engineering we use an alternative route, we use the concept of potentials to simplify the solution. Here; I recall that if you remember in electrostatics also the Coulomb’s law that gives us that charge density and electric field. So, that can be related, but many times we do not want to, we are at the problem to find that. So, there we since electrostatic fields where conservative we define the concept of potential which is a scalar quantity.
ஆகையால், ஆண்டனா இன்ஜினியரிங்கில் வேறு வழியை பயன்படுத்துகிறோம். பொட்டன்ஷியல் கருத்தை மையப்படுத்தி சுலபமான தீர்வை காணலாம். எலக்ட்ரோஸ்டாடிக்ஸில் (electro statistics) (Coulomb) (charge density) மற்றும் மின்புலம் ஆகியவை இருக்கின்றன. இவற்றாலும் சில பிரச்சனைகள் உண்டு. ஆகையால் எலக்ட்ரோஸ்டாடிக் புலத்தில் போடென்சியலின் கருத்தை ஸ்கேலார் அளவாக பயன்படுத்துகிறோம்.
And which many times simplified because looking at the charge distribution there we could have found potential and from potential which would have always found that the gradient of that potential that is the electric field. Similarly, here also we bring the concept of potential; the concept of potential is a fictitious concept, but that eases the solution because instead of solving this equation we will get solving through the use of potential. So, that will be the topic of this first lecture mainly that what is the concept of potential?
இது மிகவும் சுலபமான தீர்வு. ஏனென்றால் சார்ஜ் வினியோகத்தை பார்த்து பொட்டன்ஷியல்ஐ கண்டுபிடிக்கலாம். அதிலிருந்து பொட்டன்ஷியலின் க்ராடியென்ட் (gradient) அதாவது Eயை கண்டுபிடிக்கலாம். அதேபோல் பொட்டன்ஷியலின் கருத்து, சமன்பாட்டின் தீர்வை கண்டுபிடிக்கும் முறையை எளிதாக்குகிறது. அதனால் நாம் முதல் வகுப்பில் பொட்டன்ஷியல் கருத்து என்றால் என்ன என்பதை பார்க்கலாம்.
So, again we look at the fourth Maxwell’s equation that divergence of the magnetic flux density is zero. So, this was Maxwell’s fourth equation from there from our knowledge of vector analysis; we can say that B then should be expressed curl of a vector quantity because we know that divergence of curl of any vector is zero. So, we can say that B should be the curl of a vector and this vector, we call this is a vector because curl can be taken only with a vector field. So, this is called magnetic vector potential, so if we put this into Maxwell’s first equation which in earlier cases I solved.
மீண்டும் மேக்ஸ்வல்லின் நான்காவது சமன் பாட்டிலிருந்து மேக்னெட்டிக் பிளக்ஸ் டென்சிட்டியின் (magnetic flux density) டைவர்ஜென்ஸ் (divergence) பூஜ்யம் ஆகும் என்பதை நாம் காண்கிறோம். ஆகையால் Bயை வெக்டார் அளவின் கர்லாக (curl) வெளிப்படுத்த வேண்டும், ஏனென்றால் வெக்டாருடைய கர்லின் டைவர்ஜென்ஸ் பூஜ்யம் என்பதை நாம் அறிவோம். இதுதான் மேக்னெட்டிக் வெக்டார் பொட்டன்ஷியல், இதை மேக்ஸ்வல்லின் முதல் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தி தீர்வு காண வேண்டும்.
Again I will see that if I put it into Maxwell’s first equation the del cross E there if I put and change the sides you see that; I will get this equation and this equation says that curl of something is zero. So, again from our vector analysis, we can then say that this quantity; this should be then the gradient of a scalar field V. So, this V is a scalar this is another potential function so this one is called scalar electric potential.
This is scalar that is why it is scalar; it is coming from the definition of the electric field that is why electric potential. And you see the previous one was magnetic vector potential was coming from magnetic field definition, that is why magnetic vector potential. Now, with that definition both these vector and scalar potential; if we put to Maxwell second equation because I have already used first equation and fourth equation; I am now putting it to the second equation.
மேக்ஸ்வல்லின் முதல் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது மேலே காட்டப்பட்டுள்ள ஸ்லைடில் உள்ளதுபோல் நமக்கு ஒரு சமன்பாடு கிடைக்கும். வெக்டார் ஆய்வின்படி அந்த மதிப்பு ஸ்கேலார் புலத்தின் கிரேடியன்ட் V ஆகும். இது இன்னொரு பொட்டன்ஷியல் பங்க்ஷன் (potential function), இதை ஸ்கேலார் எலக்ட்ரிக் பொட்டன்ஷியல் (scalar electric potential) என்கிறோம். இது ஒரு ஸ்கேலார் அளவு, ஆகையால் ஸ்கேலார் என்று கூறுகிறோம். மேலும் இது மின்புலத்தின் வரையறையில் இருந்து வருவதால் எலக்ட்ரிக் பொட்டன்ஷியல் என்று கூறுகிறோம். அதேபோல் காந்தபுலத்தின் வரையறையில் இருந்து வருவதால் வெக்டார் மேக்னெட்டிக் பொட்டன்ஷியல் (Vector magnetic potential) என்று கூறுகிறோம். நாம் இவற்றை மேக்ஸ்வல்லின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் பயன்படுத்துகிறோம்.
Which is Ampere’s law or Maxwell’s modified law, so there if I put I am again writing that equation; so, that you understand that now constitutive relation I am making use and here again we have already seen the vector potentials. So, here I will put the vector potential; magnetic vector potential in place of B. So, I will get j omega mu epsilon E, here I will put the vector scalar potential V.
Now, we can use the vector identity Del cross Del cross A is Del Del dot A minus Del square A, this is Laplacian, this is a gradient of divergence. So, if we use this then what we get in this side I will write that Del Del dot A minus Del square A is equal to this quantity. So, here if I simplify; that means, we open the bracket, I get omega square mu epsilon A minus j omega mu epsilon Del V plus mu J.
மேலே காட்டப்பட்டுள்ள ஸ்லைடில் உள்ள சமன்பாட்டின் வழித்தோற்றத்தை கவனமாகப் பார்க்கவும்.
ஸ்லைடில் உள்ளதுபோல் பல மாற்றங்களை செய்து நமக்கு இறுதி சமன்பாடு கிடைக்கும். ∇∇.A- ∇²A = ω² με Α-jμε∇V +μ J. (Del cross Del cross A is equal to omega square mu epsilon A minus j omega mu epsilon Del V plus mu J.)
So, here I can now put this that if I just change sides, I can write it as. So, you see that accept these portion; this portion I will have to do something otherwise I have got a familiar one. And this one now there is a theorem called Helmholtz theorem which state there any vector or any vector field that gets uniquely specify if we specify its divergence and curl. Actually, that is why Maxwell’s equation contains divergence of E field and curl of E field, the divergence of the magnetic field and curl of magnetic field four equations are that.
இறுதியாக கிடைத்த சமன்பாட்டை மறுசீரமைத்து மேலே காட்டப்பட்டுள்ளது போல் கொண்டு வர வேண்டும். இது ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் தேற்றத்தை பயன்படுத்துகிறது. ஆகையால்தான் மேக்ஸ்வல்லின் சமன்பாட்டில் மின்புலம் மற்றும் காந்தப் புலத்தின் கர்ல் மற்றும் டைவர்ஜன்ஸ் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
So, that electric and magnetic fields get specified; similarly here we have already put for the vector potential A we have defined its curl, but we have not defined its divergence there is a chance we can put this divergence to choose divergence in such a way; so, that this term becomes zero, so that is why we can choose the divergence of A to be minus j omega mu epsilon V.
இதேபோல் வெக்டார் பொட்டன்ஷியல் A விற்கு கர்ல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இன்னும் டைவர்ஜன்ஸ் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. A உடைய டைவர்ஜன்ஸ் அந்த பாகம் பூஜ்யம் ஆகுமாறு தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். அதனால்தான் A உடைய டைவர்ஜன்ஸ் -jωμεV என்று தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளது.
If we do that this condition this condition is called Lorentz gauge condition, so, Lorentz gauge condition is this with this we come to our, so this equation was well solved instead of solving the electric field equation directly, we will solve this equation and this equation has a beauty you see that Laplacian of a vector that is a scalar. So, what is the direction of A? Direction of A is simply the direction of J.
நாம் இவ்வாறு செய்யும்போது கிடைக்கும் நிலை லாரண்ட்ஸ் காஜ் நிலை எனப்படுகிறது. இந்த சாப்பாட்டிற்கு தீர்வு எட்ட முடியும், இதிலிருந்து A கிடைக்கும். A இன் திசை J இன் திசையாகும்.
So, the if from some measurement or somehow if we can for by physical understanding if you can find what is the direction of J, we are finding immediately that the vector potential A that will also have that same direction. That was not possible in the earliest case if we have not taken the help of vector potential; then if you look at the electric field, we cannot say that J is this direction, so electric field is also this direction.
நாம் ஏதோ ஒரு வகையில் J இன் திசையை கண்டுபிடித்துவிட்டால் A வின் திசை கிடைத்துவிடும். இது முந்தைய கணிப்பில் முடியவில்லை.
இதன் மூலம் மிகவும் கஷ்டமான சிக்கலான E மற்றும் H கண்டுபிடிப்பதில் இருந்து எளிய சிக்கலான Jவை கண்டுபிடிக்கலாம். இது மிகவும் எளிது; அமைப்பின் மின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டால் போதுமானது.
Now that is the beauty that is why we have a difficult problem of finding E and H that we have put a less difficult problem that let us find J. Now how that is easier? Because in any case here we will have to find now J finding J is; that means, what is the current on the structure we will have to find. Now that why we are considering that this is easier? Because, as I said that physical reasoning sometimes helps on, measurement also helps another thing is this structure.
இப்போது நம்மிடம் மின் பரப்பும் கருவி ஒன்று இருக்கிறது; அது எல்லா இடங்களிலும் மின் அலைகளை சமமாக பரப்புகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். புலன்களை கண்டுபிடிப்பதற்கு பதிலாக இந்த அமைப்பிலுள்ள கடத்தல் மின்சாரத்தை (conduction current) கணக்கிட்டால் போதுமானது.
Suppose I have a radiator, now this radiator suppose on this there are the electric current is like this, now and fields are there everywhere in the universe. So, instead of finding the fields; it is easier to find this is on a localized thing. Because this current is localized because the current; this conduction current that will be only on this structure it will not be in the free space.
Free space cannot support current, so since it is localized; it is localized over the structure that us radiating that is why it will be an easier problem, and in fact, it turns out that this is an easier problem so that we will solve this equation. Once we know A, we can go to the defining equation of A; by that, we will find the magnetic field and from that magnetic field; we know we will put to Maxwell’s equation and find out what is the electric field; so this will be our journey.
வெற்றிடம் மின்சாரத்தை கடத்தாது, ஆகையால் மின் பரப்பும் அமைப்பிலேயே மின்சாரம் இருக்கும். ஆகையால்தான் இதற்கு தீர்வு காண்பது எளிதானது. A வை கண்டுபிடித்தவுடன், காந்த புலத்தையும், அதிலிருந்து மின்புலத்தையும் மேக்ஸ்வல்லின் சமன்பாட்டின் மூலம் கண்டறியலாம்.
Now, this equation you know this comes several times in all branches of engineering. This is wave equation, and we know its name this name the first person who did it the Helmholtz. So, this is a Helmholtz equation only thing please remember that this is an inhomogeneous Helmholtz equation because right-hand side is not zero; it is the source. So, the source quantity will have to find, or we will have to have the particular solution for this.
இந்த சமன்பாட்டை நாம் பல இடங்களில் பார்த்திருக்கிறோம் இதுதான் அலை சமன்பாடு. இதனை தந்தவர் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ். ஆனால் இது இன்ஹோமோஜீனியஸ் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் சமன்பாடு. ஏனென்றால் வலதுபுறம் பூஜ்ஜியமாக இல்லை. இதற்கு தனியாக ஒரு தீர்வு கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்.
But the general expression of this we know, and we will now write it that this is inhomogeneous Helmholtz equation. So, this is one step forward that inhomogeneous Helmholtz equation; now it can be argued that we had actually if we look at Maxwell’s equation, you say in Maxwell’s equation there are two source quantities, one is this J, and another is this rho. So, why we have taken J; we could have taken rho also yes that is true that we can start from we can consider rho as the source also.
And that we know this is Maxwell’s third equation or Gauss’s law and from here, I am hurriedly doing putting the scalar potential definition. I can write this as, please remember in electrostatics this is simply minus Del V. In electrodynamics it is this better potential also should be added here, because that was our definition if you remember. And then these become, all these are phasor quantities sometimes in a hurry; this is I am putting the divergence that Lorentz gauge condition here.
And by that it becomes Del square V plus k not square V; so you can solve this is also an equation. And so, from here also you can find then you can argue that this is a simpler equation because this is a V is a scalar quantity. So, I can find it, but the problem is finding rho and remember that for radiation we require a current. So, finding charged or by physically reasoning charge is not so easy; comparatively finding current is much easier also these two equations are not independent.
The equation that involved magnetic vector potential A del square A plus k not square A is equal to minus mu J and these both are wave equations in the form of inhomogeneous Helmholtz equation, but they are related who related them? Because we know that J and rho in a time-varying field they are related by the continuity equation which is Del dot J is equal to minus rho Del Del rho del t that is j omega rho.
So, there is nothing new here, but finding rho over characterizing rho for a radiating structure is not so easy comparatively characterizing the J is easier that is why we do it.
Also, I say here that the inhomogeneous Helmholtz equation in magnetic vector potential that boils down to three scalar equations. So, these three scalar equations so if I can somehow break the on the structure that time I am shown that suppose this is our current J. So, if I can break it into in rectangular coordinates J x J y J z, then I will have to solve these scalar equations. So, in any case, we will have to solve this, and this solution will give us into that what is the how to find E and H for the antenna case is that will be taking up in the next by taking a very conceptual current distribution.
மேலே காட்டப்பட்டுள்ள 3 ஸ்லைடில் உள்ள சமன்பாட்டின் வழித்தோற்றத்தை கவனமாகப் பார்க்கவும். அவற்றில் மேக்ஸ்வெல், ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ், லாரண்ட்ஸ் காஜ் மற்றும் சமன்பாடுகளை பயன்படுத்தி இறுதி சமன்பாட்டை கொண்டுவந்துள்ளோம்.
காஸ் மேலும் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் சமன்பாடு மூன்று சமன்பாடுகள்ஆக உடைக்கப்பட்டுள்ளன. ஏதோ ஒரு வகையில் மின்சாரம் J கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். இதை Jx Jy Jz என்று ரெக்டங்குளர் கோர்டினட்ஸ்ஆக (rectangular coordinates) உடைத்து இந்த சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காணலாம். இதன் மூலம் E மற்றும் H ஆகிய மதிப்புகளை கண்டுபிடித்து ஆண்டனாவின் அடுத்த கருத்திற்கு நாம் செல்ல முடியும்.
){kind=link}
0 Comments