இன்ஹோமோஜீனியஸ் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் சமன்பாடு (Inhomogeneous Helmholtz Equation)

இன்ஹோமோஜீனியஸ் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் சமன்பாடு (Inhomogeneous Helmholtz Equation) என்பது வெவ்வேறு துறைகளில், குறிப்பாக கணித இயற்பியலில், அலையியலில் (wave theory), மற்றும் காந்தவியல் (electromagnetism) ஆகியவற்றில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படும் ஒரு முக்கியச் சமன்பாடு.

இந்த சமன்பாடு ஒரு தத்திச் சராசரி முறையில் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட மற்றும் விலக்கப்பட்ட அல்லது நிதானமில்லா (inhomogeneous) மையவியல் (medium) மூலம் பரவுகின்ற அலையோ (wave) அல்லது குளிராத களத்தின் (field) நடத்தை பற்றி விவரிக்கிறது.

இன்ஹோமோஜீனியஸ் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் சமன்பாடு:

இது பொதுவாக உள்ளிருக்கும் வரிசைமுறை மற்றும் அளவுக் களத்துடன் தொடர்புடையது, இதனால் பொதுவாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

$$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)u(\mathbf{r})=-f(\mathbf{r})$$

இங்கு,

• $\nabla^2$ என்பது லாப்லேஷியன் ஆபரேட்டர் (Laplace operator), அல்லது $\nabla \cdot \nabla$, இது $u(\mathbf{r})$ என்னும் கரவிச் செயலின் (scalar function) இரண்டாம் தரவு (second-order derivative) ஆகும்.
• $k$ என்பது அலையின் எண் (wave number), $k = \frac{\omega}{c}$, இதில் $\omega$ என்பது திரிபோசையை (angular frequency), $c$ என்பது பொருளின் வேகம் (speed of the wave) ஆகும்.
• $u(\mathbf{r})$ என்பது கரவிச் செயலம் (scalar function), இது சராசரி களத்தை (field) அல்லது அலையை (wave) விவரிக்கிறது.
• $f(\mathbf{r})$ என்பது கையிலுள்ள (source) செயலி அல்லது உள்ளீட்டு செயலி (source term), இது இன்ஹோமோஜீனியஸ் பகுதியாகும்.

விளக்கம்:

• $f(\mathbf{r})$ என்பது கையிலுள்ள செயலிகள் அல்லது அமைப்பு வேறுபாடுகள் இருப்பதை உணர்த்துகிறது.
• $k$ மற்றும் $\nabla^2$ களத்தில் அல்லது அலையில் உள்ள அலையொளிகள் மற்றும் ஒலிகளின் பரவல் தொடர்புகளை விளக்குகிறது.

இந்த சமன்பாடு வெவ்வேறு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, சின்வீரிய அறிக்கைகள் (acoustic wave propagation), மின்னணுக்கோட்பாடுகள் (electromagnetic wave propagation), மற்றும் பிற இயற்பியல் அலைகளின் பரவல் தொடர்புகளுக்கு.